平均値のパラメータの推定
平均値の推定値は，平均値のみがパラメータとなるので，データ数をｎとすると，
・データ ： x1, x2, x3, ......xn
・自由度 ： n-1
・平均値
\(\Large \displaystyle \bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i \)
・残差平方和
平均値からの残差
\(\Large \displaystyle Se = \sum_{i=1}^{n} \left( x_i - \bar{x} \right)^2 \)
任意の値，a，からの残差
\(\Large \displaystyle S = \sum_{i=1}^{n} \left( x_i - a \right)^2 \)
・分散
\(\Large \displaystyle Ve = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} \left( x_i - \bar{x} \right)^2 \)
・標準偏差
\(\Large \displaystyle S.D. = \sqrt{ \mathstrut Ve} = \sqrt{\mathstrut \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} \left( x_i - \bar{x} \right)^2} \)
・標準誤差
\(\Large \displaystyle S.E. = \frac{S.D.}{\sqrt{n}} = \frac{\sqrt{ \mathstrut Ve}}{ \sqrt{n}} = \sqrt{\mathstrut \frac{1}{n(n-1)} \sum_{i=1}^{n} \left( x_i - \bar{x} \right)^2} \)
さて，前頁の
5． 推定したいパラメータをδだけずらして，その値を使って（変数としてではなく）ソルバーなどで残りのパラメータを推定する
を計算してみます．
\(\Large \displaystyle \delta = a - \bar{x} \)と定義して，
任意の値，a，からの残差
\(\Large \begin{eqnarray} \displaystyle S &=& \sum_{i=1}^{n} \left( x_i - a \right)^2
\\
&=&
\sum_{i=1}^{n} \left( x_i - \bar{x} - \delta \right)^2
\\
&=&
\sum_{i=1}^{n} \left( x_i - \bar{x} \right)^2
-2 \sum_{i=1}^{n} \left( x_i - \bar{x} \right) \delta + \sum_{i=1}^{n} \delta^2\\
\end{eqnarray} \)
右辺第二項の括弧の中は，偏差となり，偏差の計は０なので，第二項は０となります．したがって，
\(\Large \begin{eqnarray} \displaystyle S &=&
\sum_{i=1}^{n} \left( x_i - \bar{x} \right)^2 + \sum_{i=1}^{n} \delta^2 \\
&=& Se + n \delta^2 \\
\end{eqnarray} \)
となります，ここでδに先ほどの標準誤差を代入してみると，
\(\Large \begin{eqnarray} \displaystyle S_{SE} &=&
\sum_{i=1}^{n} \left( x_i - \bar{x} \right)^2 + \sum_{i=1}^{n}SE^2 \\
&=&
\sum_{i=1}^{n} \left( x_i - \bar{x} \right)^2 + \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}\left( x_i - \bar{x} \right)^2 \\
&=&
Se + Ve \\
\end{eqnarray} \)
となります．したがって，
当てはまりの悪さ，S，がSe + Ve，の場合のδが，標準誤差，SE，となります．
次に実際の値を代入して確認してみましょう．